二分图划分与矩阵分数二进制秩的工程见解

我们研究了二进制矩阵的Kronecker幂的二进制秩结构属性，等效于相应二分图的二分图划分数量。为此，我们构建了求解二分图分数二分图划分数的线性优化问题的方法，具体研究了Domino 图及其Kronecker幂。我们解决了随着Kronecker幂指数的增加导致二分图数量呈双指数增长所提出的挑战。我们讨论了各种生成合适初始二分图集的策略，包括用于增加Kronecker幂的归纳方法。我们展示了如何管理活跃二分图的数量以提高运行时间并维持内存限制。我们的计算结果表明，分数二进制秩不随Kronecker积的乘法性。因此，存在二进制矩阵和二分图（例如Domino），其中渐近分数二进制秩严格小于分数二进制秩。虽然我们使用算法降低了上界，但我们形式证明了分数二分图覆盖数是下界，这至少与广泛使用的隔离（或愚蠢集）界相同。对于Domino，我们得到渐近分数二进制秩位于区间 $[2,2.373]$ 之间。由于我们的计算资源不足以进一步降低上界，我们鼓励使用更多的计算资源或进一步的数学工程技术来缩小差距并深化对二分图划分的理解，特别是为了解决二进制秩和二分图划分数是否随Kronecker积的乘法性这一开放问题。