论具有边和顶点多样化三角形统计验证的大规模图生成

开发分布式图分析算法实现的研究人员需要图生成器，这些生成器生成的图需具备真实世界图的挑战性特征（小世界、无标度、重尾度分布），并具有可高效计算的所需输出真实值。由于随机性，当前用于基准测试的生成器在这方面有所欠缺：所需图分析的输出只能与期望值进行比较，而无法与精确真实值进行比较。非随机 Kronecker 积图在多种图分析中满足这些设计标准。在此我们表明，在生成 Kronecker 积图时，可以低成本计算多种形式的三角形参与度。给定两个邻接矩阵为 $A$ 和 $B$ 的中型无标度图，它们的 Kronecker 积图的邻接矩阵为 $C = A \otimes B$。此类图高度可压缩：$|{\cal E}|$ 条边用 ${\cal O}(|{\cal E}|^{1/2})$ 内存表示，并且可以在分布式环境中由小型数据结构构建，使其易于以压缩形式共享。许多有趣的图计算的最坏情况复杂度界限为 ${\cal O}(|{\cal E}|^p)$，当可以推导出 Kronecker 公式，用 $A$ 和 $B$ 上的相关计算来表示 $C$ 上的所求计算时，对于 Kronecker 积图，这些复杂度通常可降至 ${\cal O}(|{\cal E}|^{p/2})$。我们专注于推导顶点三角形参与度 ${\bf t}_C$（一个存储每个顶点所参与三角形数量的向量）和边三角形参与度 $\Delta_C$（一个存储每条边上三角形数量的稀疏矩阵）的公式。