分数覆盖、贪心覆盖与整流器网络

整流器网络是一种具有特定源与汇的有向无环图；若从第 $j$ 个源到第 $i$ 个汇存在路径，则称其计算布尔矩阵 $M$ 在条目 $(i,j)$ 处为 $1$。计算 $M$ 的整流器网络的最小边数是一种经典的矩阵复杂性度量，已被研究半个多世纪。我们探索了两种众所周知但迄今在该理论中几乎未获应用的技术。两者均基于一个基本事实：深度-$2$ 整流器网络本质上是用矩形对布尔矩阵进行加权覆盖。我们利用分数覆盖与贪心覆盖（以标准方式定义）得到了新结果。首先，我们证明了所谓全三角矩阵的所有分数覆盖代价至少为 $n\log n$。这（当然）为其深度-$2$ 复杂性的紧下界提供了新的证明（精确值自1965年已知，但先前的证明基于不同论证）。其次，我们表明贪心启发式在收紧 Kneser-Sierpiński（不相交）矩阵深度-$2$ 复杂性的上界方面起了关键作用。先前的上界为 $O(n^{1.28})$，我们将其改进至 $O(n^{1.17})$，而已知最佳下界为 $\Omega(n^{1.16})$。第三，利用分数覆盖，我们获得了一种直接积定理的形式，给出了矩阵克罗内克（张量）积的无界深度复杂性的下界。在此情形下，贪心启发式（通过 Lovász 的论证）表明我们的结果距“完全”直接积定理仅差一个对数因子。我们的第二和第三项结果构成了对 Jukna 与 Sergeev 近期著作（见 Foundations and Trends in Theoretical Computer Science (2013)）中开放问题 7.3 的进展，并（直至对数因子）解决了开放问题 7.5。