二分图的弱模积、双团与同构

Kozen 于 1978 年提出的一条定理指出，两个具有 $n$ 个顶点的图是同构的，当且仅当在这两个图之间的弱模积中存在一个大小为 $n$ 的团。通过限制在二分图上并考虑其中的完全二分图子图（双团），我们研究了弱模积的组合性质。我们确定了使用这种方法（我们称之为通过双团枚举的同构，IvBE）可使同构问题变得易处理的情况。我们发现，对于二分 $2K_2$-free 图，IvBE 是多项式时间的；对于最大诱导匹配和最大诱导冠图在 $n$ 中增长缓慢（即 $O(\mathrm{polylog }\, n)$）的二分图族，IvBE 是准多项式时间的。此外，正如预期，Kozen 定理和 Lov\'{a}sz 夹逼定理的一个直接推论是：如果两个图之间的弱模积是完美图，那么检查这两个图是否同构在 $n$ 上是多项式时间的。然而，我们表明对于平衡二分图，这仅在少数平凡情况下成立。在此过程中，我们定义了一种新的二分图上图的乘积，即极弱模积。此处证明的关于二分图中双团的结果可能具有独立的意义。