有序图与曲线交图中的大双团

有序图$G_<$是其顶点集上带有全序$<$的图。长度为$k$的单调路是一列顶点$v_1<v_2<\ldots<v_k$，使得$v_iv_{j}$为$G_<$的边当且仅当$|j-i|=1$。大小为$m$的双团是顶点类大小均为$m$的完全二部图。我们证明：对每个正整数$k$，存在常数$c_k>0$，使得每个不含长为$k$单调路作为诱导子图的有序$n$顶点图，要么有一个度至少为$c_kn$的顶点，要么其补图含有大小至少为$c_kn/\log n$的双团。对不含同构于固定有序匹配之诱导有序子图的有序图，类似结果成立。作为推论，我们给出Fox与Pach下述定理的简短组合证明：存在常数$c>0$，使得平面上任意$n$条$x$-单调曲线的交图$G$含有大小至少为$cn/\log n$的双团，或其补图含有大小至少为$cn$的双团。（若每条竖直线与曲线至多交于一点，则称曲线为$x$-单调的。）我们还证明：若对某个$\epsilon>0$，$G$至多有$\left(\frac14 -\epsilon\right){n\choose 2}$条边，则$\overline{G}$含有线性大小的双团。我们表明若将该$\frac14$替换为任何更大常数，此命题不再成立。