自由乘循环群的 $\ell^{2}$-挠率

我们针对自由乘循环群 $\mathbb{F} \rtimes_{\Phi} \mathbb{Z}$ 的 $\ell^{2}$-挠率 $-\rho^{(2)}(\mathbb{F} \rtimes_{\Phi} \mathbb{Z})$，基于 $\Phi \in \mathrm{Aut}(\mathbb{F})$ 的相对火车轨道表示给出了一个上界。我们的结果与 Lück-Schick 定理（该定理计算了纤维于圆周上的三维流形基本群的 $\ell^{2}$-挠率）有相似之处，即它表明 $\ell^{2}$-挠率由单值映射的指数动力学决定。鉴于 Lück-Schick 的结果，我们的界的一个特例类似于 Kojima-McShane 最近证明的、具有伪阿诺索夫单值映射的纤维于圆周上的三维流形体积界（由归一化熵给出）。