通过Langevin MCMC在黎曼流形上的高效采样

我们研究了通过（几何）Langevin MCMC从黎曼流形M上的吉布斯分布$d \pi^* = e^{-h} d {vol}_g$高效采样的问题；该算法涉及在随机高斯方向上计算指数映射，并且在实践中可以高效实现。我们对Langevin MCMC分析的关键是对几何Euler-Murayama格式的离散化误差的界，假设$\nabla h$是Lipschitz的且M具有有界截面曲率。我们的误差界在步长依赖性方面与欧几里得Euler-Murayama的误差界相匹配。结合通过Kendall-Cranston耦合的几何Langevin扩散的收缩保证，我们证明了Langevin MCMC迭代在$\tilde{O}(\epsilon^{-2})$步后与$\pi^*$的Wasserstein距离在$\epsilon$以内，这与欧几里得Langevin MCMC的迭代复杂度相匹配。我们的结果适用于h可以非凸且M可以具有负里奇曲率的一般情况。在附加假设黎曼曲率张量具有有界导数且$\pi^*$满足$CD(\cdot,\infty)$条件的情况下，我们分析了Langevin MCMC的随机梯度版本，并将其迭代复杂度也限定为$\tilde{O}(\epsilon^{-2})$。