镜面朗之万蒙特卡洛的Wasserstein控制

离散化朗之万扩散是从高维目标密度（其对数满足Lipschitz光滑且（强）对数凹）中采样的高效蒙特卡洛方法。特别地，欧氏朗之万蒙特卡洛采样算法近来备受关注，从而使其非渐近收敛性质以及光滑性和对数凹性在收敛速率中的作用得到详细理解。对于不具备这些正则性的分布，可通过考虑具有捕捉对数密度局部几何的度量的黎曼朗之万扩散来处理。然而，由此类黎曼朗之万扩散的离散化导出的蒙特卡洛算法素来难以分析。在本文中，我们考虑Hessian型流形上的朗之万扩散，并研究一种与镜面下降格式密切相关的离散化。我们首次为所得的Hessian黎曼朗之万蒙特卡洛算法的采样误差建立了非渐近上界。该上界依据由捕捉Hessian结构且与自协调型条件密切相关的黎曼度量底代价所诱导的Wasserstein距离来度量。该上界意味着，例如，迭代点向目标密度周围一个Wasserstein球收缩，其半径被明确给出。我们的理论恢复了已有的欧氏结果，并能应对与高度非平坦几何相关的多种Hessian度量。