非凸情形下朗之万动力学的锐收敛速率

我们研究从分布 $p^*(x) \propto \exp\left(-U(x)\right)$ 采样的问题，其中函数 $U$ 处处 $L$-光滑，且在半径 $R$ 的球外 $m$-强凸，但在该球内可能非凸。我们研究过阻尼与欠阻尼朗之万MCMC，并建立为获得在 $1$-Wasserstein 距离上与 $p^*$ 相差 $\epsilon$ 以内的分布所需步数的上界。对于一阶方法（过阻尼朗之万MCMC），迭代复杂度为 $\tilde{\mathcal{O}}\left(e^{cLR^2}d/\epsilon^2\right)$，其中 $d$ 为底层空间的维数。对于二阶方法（欠阻尼朗之万MCMC），迭代复杂度为 $\tilde{\mathcal{O}}\left(e^{cLR^2}\sqrt{d}/\epsilon\right)$，其中 $c$ 为显式正常数。令人惊讶的是，这两种算法的迭代复杂度仅关于维数 $d$ 与目标精度 $\epsilon$ 为多项式级。然而，其关于问题参数 $LR^2$ 是指数级的，而 $LR^2$ 是目标分布非对数凹性的度量。