非光滑势能下 Langevin 动力学及其离散化的遍历性

本文关注使用马尔可夫链蒙特卡洛方法从 Gibbs 分布 $\pi(x)\propto e^{-U(x)}$ 中进行采样。特别地，我们研究了此类分布（其势能 $U(x)$ 为强凸但可能不可导）在连续和离散时间设定下的 Langevin 动力学。我们证明了在连续设定下，相应的次梯度 Langevin 动力学对目标密度 $\pi$ 具有指数遍历性，并且某些显式和半隐式离散化具有几何遍历性，且在离散化步长趋于零时逼近 $\pi$。此外，我们证明了离散格式满足大数定律，允许使用马尔可夫链的连续迭代来计算平稳分布的统计量，这在实际中显著降低了计算复杂度。提供的数值实验验证了理论发现，并展示了所提方法在成像应用中的实际相关性。