离散化动力学 Langevin 方程的收缩与收敛速率

我们提供了一个分析离散化动力学 Langevin 方程对于 $M$-$\nabla$Lipschitz、$m$-凸势函数收敛性的框架。我们的方法给出 $\mathcal{O}(m/M)$ 的收敛速率及显式步长限制，其阶数与高斯目标下的稳定性阈值相同，并对摩擦参数的大区间有效。我们将该方法应用于分子动力学和机器学习社区中流行的多种积分格式。进一步，我们引入“$\gamma$-极限收敛”（GLC）性质来刻画在高摩擦极限下收敛于过阻尼动力学且步长限制与摩擦参数无关的欠阻尼 Langevin 格式；我们通过给出该类及其补类中的方法来证明该性质并非普适。最后，我们给出 BAOAB 格式的渐近偏差估计，通过与保持不变测度的修正随机动力学比较，该估计在高摩擦极限下仍准确。