平均场朗之万动力学的凸分析

作为非线性 Fokker-Planck 方程的一个例子，平均场朗之万动力学近期因其与平均场 regime 下无限宽神经网络上的（带噪）梯度下降的联系而受到关注，因此该动力学的收敛性质具有重要的理论意义。本文中，我们针对（正则化）目标函数，在连续与离散时间设定下，给出平均场朗之万动力学简洁且自洽的收敛速率分析。我们证明的关键要素是与该动力学相关联的近邻 Gibbs 分布 $p_q$，结合 [Vempala and Wibisono (2019)] 中的技术，使我们能够发展出与凸优化中经典结果平行的简单收敛理论。此外，我们揭示 $p_q$ 在经验风险最小化设定下与对偶间隙相联系，从而实现算法收敛的高效经验评估。