李群上动力学 Langevin Monte Carlo 的收敛性

最近，基于变分优化和左平凡化等技术，构建了用于优化定义在李群上的函数的显式基于动量的动力学。我们适当地向优化动力学添加易于处理的噪声，将其转化为采样动力学，利用了平凡化的动量变量是欧几里得的这一有利特征，尽管势函数存在于流形上。然后，通过精细地离散化由此产生的动力学 Langevin 型采样动力学，我们提出了一种李群 MCMC 采样器。这种离散化精确地保留了李群结构。然后在 $W_2$ 距离下证明了连续动力学和离散采样器均具有带有显式收敛速率的指数收敛。仅需要李群的紧致性和势函数的测地 $L$-平滑性。据我们所知，这是弯曲空间上动力学 Langevin 的第一个收敛结果，也是第一个不需要凸性或至少不明确需要诸如等周性等任何常见松弛的定量结果。