具有奇异势的 Langevin 动力学的加权 $L^2$ 收缩性

在允许势 $U$ 具有奇异性的普遍假设下，研究了欠阻尼 Langevin 动力学向平衡的收敛性。通过改进由 F. Hérau 开创并由 Dolbeault、Mouhot 和 Schmeiser 发展的 $L^2$ 收敛直接方法，我们证明了该动力学在拓扑 $L^2(d\mu)$ 和 $L^2(W^* d\mu)$ 中以指数速度快速收敛到平衡，其中 $\mu$ 表示不变概率测度，$W^*$ 是一个合适的 Lyapunov 权函数。在两种范数中，我们通过给出随 $\min(\gamma, \gamma^{-1})$ 缩放的下界，精确刻画了指数收敛速率如何依赖于 Langevin 动力学中的摩擦参数 $\gamma$。结果对通常的多项式型势以及具有奇异性的势（例如由粒子间成对 Lennard-Jones 相互作用产生的势）均成立。