超越 Villani 的 Gamma 演算及奇异势下 Langevin 动力学的显式收敛估计

本文研究在势函数一般增长条件下二阶 Langevin 动力学趋于平衡的分布收敛。尽管我们的主要动机来自势函数奇异的情形，例如动力学具有排斥力和/或相互作用，但本文结果在更一般情形下成立。具体而言，主要结果是：给定势函数（非常）基本的构造与增长条件，该动力学以显式可度量的方式指数快速松弛至平衡。此结果的“显式性”直接来自增长条件中出现的常数（均可轻易估计）以及不变测度 $\mu$ 的局部 Poincar\'{e} 常数。我们将该结果应用于奇异相互作用与多项式约束势阱的具体情形，就系统中粒子数 $N \geqslant 1$ 给出指数收敛速率 $e^{-\sigma}$ 的显式估计。我们将看到 $\sigma \geqslant c/(\rho \vee N^p)$，其中 $\rho>0$ 为 $\mu$ 的局部 Poincar\'{e} 常数，$c>0, p\geqslant 1$ 为独立于 $N$ 的常数。