朗之万动力学不变测度的极限行为

在本稿件中，我们考虑 $\mathbb{R}^d$ 上的朗之万动力学，其具有过阻尼向量场并受小振幅 $\sqrt{\epsilon}$、$\epsilon>0$ 的乘性布朗噪声驱动。在对向量场和扩散系数适当假设下，众所周知该动力学拥有唯一不变概率测度 $\mu^{\epsilon}$。当 $\epsilon$ 趋于零时，我们证明概率测度 $\epsilon^{d/2} \mu^{\epsilon}(\sqrt{\epsilon}\mathrm{d} x)$ 在 $p$-Wasserstein 距离（$p\in [1,2]$）下收敛于一个零均值向量且非退化协方差矩阵的高斯测度，该协方差矩阵求解一个 Lyapunov 矩阵方程。此外，给出了误差项的估计。我们强调通常无法找到 $\mu^{\epsilon}$ 的显式公式。