非凸和超线性设置下的投影朗之万蒙特卡洛算法

在许多应用中，基于朗之万随机微分方程 (SDEs) 的时间离散化，从高维目标分布 $\pi$（其密度为 $\pi(\text{d} x) \propto e^{-U(x)} (\text{d} x)$）中采样具有重要的意义。在本文中，我们提出了一种显式投影朗之万蒙特卡洛 (PLMC) 算法，适用于非凸势 $U$ 和 $U$ 的超线性梯度，并研究了其在全变差距离下的采样误差的非渐近分析。配备相关 Kolmogorov 方程的时间无关正则性估计，我们推导出了朗之万 SDEs 的目标分布与由 PLMC 方案诱导的律之间的全变差距离的非渐近界，其阶数为 $\mathcal{O}(d^{\max\{3\gamma/2 , 2\gamma-1 \}} h |\ln h|)$，其中 $d$ 是目标分布的维数，$\gamma \geq 1$ 表征了 $U$ 的梯度增长。此外，如果 $U$ 的梯度是全局 Lipschitz 连续的，则基于 Malliavin 微积分技术的证明细化，推导出了经典朗之万蒙特卡洛 (LMC) 方案的改进收敛阶 $\mathcal{O}(d^{3/2} h)$。为了达到给定的精度 $\epsilon$，证明了 PLMC 算法所需的最小迭代次数阶数为 ${\mathcal{O}}\big(\tfrac{d^{\max\{3\gamma/2 , 2\gamma-1 \}}}{\epsilon} \ \cdot \ln (\tfrac{d}{\epsilon}) \cdot \ln (\tfrac{1}{\epsilon}) \big)$。特别是，具有非凸势 $U$ 和全局 Lipschitz 连续梯度的经典朗之万蒙特卡洛 (LMC) 方案可以保证达到 ${\mathcal{O}}\big(\tfrac{d^{3/2}}{\epsilon} \cdot \ln (\tfrac{1}{\epsilon}) \big)$ 的阶数。提供了数值实验以确认理论发现。