泊松随机中点 Langevin 蒙特卡洛的非渐近分析

从高维分布 $\pi$ 上进行采样是统计、工程和科学领域的一个基本算法问题。考虑 Langevin 扩散 \begin{align*} \dif X_t=-\nabla U(X_t)dt+\sqrt{2}dB_t, \end{align*} 在温和条件下，它唯一的平稳分布为 $\pi(\dif x)\propto \exp(-U(x))\dif x$。最近，Kandasamy 和 Nagaraj (2024) 引入了一种称为泊松随机中点 Langevin 蒙特卡洛 (PRLMC) 的随机算法，以提高对目标分布 $\pi$ 的收敛速度。在本文中，我们首先在温和条件下表明，PRLMC 作为一个马尔可夫链，拥有唯一的平稳分布 $\pi_\eta$（$\eta$ 为步长），并获得 PRLMC 距离 $\pi_\eta$ 的总变距收敛速率。随后，我们在 2- Wasserstein 距离下建立了 $\pi_\eta$ 与 $\pi$ 之间的尖锐误差界。最后，我们提出了 PRLMC 的递减步长版本，并提供其收敛到 $\pi$ 的收敛速率，这一速率接近最优。