朗之万算法平稳分布的集中性

对数凹采样的一个典型算法是朗之万算法，即在某离散步长 $\eta > 0$ 下运行的朗之万扩散。这种离散化使得朗之万算法具有平稳分布 $\pi_{\eta}$，其不同于朗之万扩散的平稳分布 $\pi$，理解 $\pi$ 的已知性质是否扩展到 $\pi_{\eta}$ 是一个重要挑战。特别地，尽管等周性和快速衰减尾部等集中性质对 $\pi$ 是经典的已知结论，但 $\pi_{\eta}$ 的类似性质是具有算法意义的开问题。本文笔记通过建立镜像 $\pi$ 经典结果的 $\pi_{\eta}$ 集中性结果，朝该方向迈出第一步。具体而言，我们证明对任意非平凡步长 $\eta > 0$，当势函数为凸（分别为强凸）时，$\pi_{\eta}$ 为次指数（分别为次高斯）。此外，我们所证集中界基本紧。我们还证明这些集中界扩展到朗之万算法轨迹上的所有迭代，以及使用次高斯梯度估计的不精确实现。我们分析的关键在于使用旋转不变矩生成函数（即贝塞尔函数）来研究朗之万算法的平稳动力学。该技术可能具有独立意义，因为它能直接分析离散时间平稳分布 $\pi_{\eta}$ 而无需以连续时间平稳分布 $\pi$ 为中介。