β-平面方程在库埃特流附近的动力学

在本文中，我们研究通道 $\mathbb{T}\times[-1,1]$ 上 Sobolev 空间中平面库埃特流附近的定常结构，以及 $\mathbb{T}\times\mathbb{R}$ 上 Gevrey 空间中库埃特流的渐近行为，针对 β-平面方程。令 $T>0$ 为通道的水平周期，$\alpha={2\pi\over T}$ 为波数。我们得到整个 $(\alpha,\beta)$ 半平面中的尖锐区域 $O$，使得对于 $(\alpha,\beta)\in O$ 不存在非平行定常行波，而对于剩余区域中靠近库埃特流的 $H^{\geq5}$ 速度扰动存在此类行波。区域 $O$ 与其剩余部分之间的边界由奇异 Rayleigh-Kuo 算子的主特征值两条曲线确定。我们的结果表明存在 $\beta_*>0$，使得若 $|\beta|\leq \beta_*$，则对任意 $T>0$ 不存在非平行行波；而若 $|\beta|>\beta_*$，则存在临界周期 $T_\beta>0$，使得此类行波在 $T\in \left[T_\beta,\infty\right)$ 时存在，在 $T\in \left(0,T_\beta\right)$ 时不存在，针对靠近库埃特流的 $H^{\geq5}$ 速度扰动。这种对比动力学在研究带科里奥利效应的库埃特流附近长时间动力学中起着重要作用。此外，对任意 $\beta\neq0$ 和 $T>0$，不存在速度在 $(-1,1)$ 内收敛的非平行行波，针对靠近库埃特流的 $H^{\geq5}$ 速度扰动；与此相反，我们构造了靠近库埃特流、针对 $H^{<{5\over2}}$ 速度扰动的非剪切定常解，这是对 [22] 中定理 1 的推广，但由于 β 项的存在构造更为困难。最后，我们通过将 [4] 的方法推广到 $\mathbb{T}\times\mathbb{R}$ 上的 β-平面方程，证明了某些 Gevrey 空间中库埃特流的非线性无粘阻尼。