玻色子星的动力学坍缩

我们研究具有相对论性色散关系的 $N$ 个玻色子系统在吸引库仑势（耦合常数为 $G$）相互作用下的时间演化。考虑平均场标度，其中 $N$ 趋于无穷，$G$ 趋于零，且 $\lambda = G N$ 保持固定。我们探讨由薛定谔方程支配的多体量子动力学与由（半相对论性）Hartree 方程描述的有效演化之间的关系。特别地，我们关注大 $\lambda$ 的超临界区域（亚临界情况已在 \cite{ES,KP} 中研究），其中已知非线性 Hartree 方程的解在有限时间内爆破。为考察这一区域，我们需要在多体哈密顿量中使用一个依赖于 $N$ 的截断来正则化库仑相互作用，该截断在 $N\to \infty$ 极限下消失。我们首先证明，如果非线性方程的解在时间区间 $[-T,T]$ 内不爆破，那么多体薛定谔动力学（在约化密度矩阵层面上）可以近似为非线性 Hartree 动力学，正如亚临界区域一样。此外，我们证明，如果非线性 Hartree 方程的解在时间 $T$ 爆破（即解的 $H^{1/2}$ 范数在时间接近 $T$ 时发散），那么当 $t \to T$ 且同时 $N \to \infty$ 足够快时，线性薛定谔方程的解也会坍缩（即每个粒子的动能发散）。这首次从多体层面直接给出了引力坍缩现象的动力学描述。