无限空间周期管道中的双周期黏性流

我们研究不可压缩流体在 $n+1$ 维无限管道 $\,\La\,$ 中的运动，该管道在 $z=x_{n+1}$ 方向上具有 $L$ 周期形状。令 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_{n})$，且 $z=x_{n+1}$。记 $\Sigma_z$ 为管道在高度 $z\,$ 处的横截面，$v_z$ 为速度的 $n+1$ 分量。流体运动由演化 Stokes 或 Navier-Stokes 方程以及无滑移边界条件 $\bv=\,0\,$ 描述。我们寻找具有给定任意 $T$ 时间周期总通量 $\,\int_{\Sigma_z} \,v_z(x,z,t)\,dx=g(t)\,$ 的解 $\bv(x,z,t)$，该解应同时关于时间 $T$ 周期且关于 $z$ $L$ 周期。我们证明了上述问题解的存在性与唯一性。结果推广了文献 \cite{B-05} 中横截面与 $z$ 无关时所证结论。论证通过一系列步骤展开：首先考虑线性、定常、$z$ 周期 Stokes 问题；继而研究作为核心的双周期演化 Stokes 方程；最后推广至完整的 Navier-Stokes 方程。