Dorfman 联络与 Courant 代数胚

我们定义了 Dorfman 联络，它与 Courant 代数胚的关系正如联络与李代数胚的关系。若干例子阐明了这一类比。光滑流形 $M$ 上向量丛 $E$ 上的线性联络 $\nabla\colon \mathfrak{X}(M)\times\Gamma(E)\to\Gamma(E)$ 等价于线性分裂 $TE\simeq T^{q_E}E\oplus H_\nabla$，其中 $T^{q_E}E$ 是切于 $E$ 纤维的向量集。此外，联络的曲率度量了水平空间 $H_\nabla$ 不可积的程度。我们表明，向量丛 $E$ 上 Pontryagin 丛中 $T^{q_E}E\oplus (T^{q_E}E)^\circ$ 的线性水平补空间可以通过某一类 Dorfman 联络 $\Delta\colon \Gamma(TM\oplus E^*)\times\Gamma(E\oplus T^*M)\to\Gamma(E\oplus T^*M)$ 以相同方式描述。类似于切丛的情形，我们发现，在选择线性分裂后，$TE\oplus T^*E\to E$ 的标准 Courant 代数胚结构可以完全由 Dorfman 联络的性质来描述。作为应用，我们研究了李代数胚 $A$ 上 $TA\oplus T^*A$ 的分裂，并遵循 Gracia-Saz 和 Mehta 的方法，计算了由 $TA\oplus T^*A$ 的任何线性分裂以及线性李代数胚 $TA\oplus T^*A\to TM\oplus A^*$ 所定义的同伦表示。此外，我们通过 Dorfman 联络刻画了 $TA\oplus T^*A$ 中的 VB-和 LA-Dirac 结构。