横线稿纸上的涂鸦与团块：曲面上穿越流的凸拟包络

令 $A$ 表示柱面 $\mathbb R \times S^1$ 或带形域 $\mathbb R \times I$，其中 $I$ 表示闭区间。我们考虑 $A$ 中闭曲线（“涂鸦”）与紧曲面（“团块”）的 $2$-适度浸入，其配边亦是 $A \times [0, 1]$ 中曲面与立体物的 $2$-适度浸入。依定义，$2$-适度浸入的曲线与曲面对显然的投影 $A \to S^1$、$A \times [0, 1] \to S^1 \times [0, 1]$ 或 $A \to I$、$A \times [0, 1] \to I \times [0, 1]$ 的纤维不具有阶数 $\geq 3$ 的切触。这些配边有不同种类：特别地，我们考虑基于涂鸦与团块在 $A$ 中正则嵌入的一类。我们计算了正则嵌入的配边，并构造了许多区分浸入配边与嵌入配边的不变量。在 $A = \mathbb R \times I$ 上有向涂鸦的情形，我们对 $2$-适度浸入配边 $\mathbf{OC}^{\mathsf{imm}}_{\mathsf{moderate \leq 2}}(A)$ 的计算近乎完整：我们证明它们可由阿贝尔群正合序列描述 $$0 \to \mathbf K \to \mathbf{OC}^{\mathsf{imm}}_{\mathsf{moderate \leq 2}}(A)\big/\mathbf{OC}^{\mathsf{emb}}_{\mathsf{moderate \leq 2}}(A) \stackrel{\mathcal I \rho}{\longrightarrow} \mathbb Z \times \mathbb Z \to 0,$$ 其中 $\mathbf{OC}^{\mathsf{emb}}_{\mathsf{moderate \leq 2}}(A) \approx \mathbb Z \times \mathbb Z$，满同态 $\mathcal I \rho$ 计数浸入涂鸦的不同类型交叉，核 $\mathbf K$ 包含群 $(\mathbb Z)^\infty$，其生成元被显式描述。