阿贝尔簇中本原点之除法

设 $A$ 为定义于数域 $K$ 上的阿贝尔簇。称点 $P \in A(\overline{\mathbb{Q}})$ 为本原的，若不存在在 $P$ 关于 $K$ 的定义域上定义的 $Q \in A(\overline{\mathbb{Q}})$ 使得对某个正整数 $N \ge 2$ 有 $[N]Q=P$。对任意本原点 $P \in A(\overline{\mathbb{Q}})$、正整数 $N$ 以及满足 $[N]Q=P$ 的点 $Q \in A(\overline{\mathbb{Q}})$，我们证明了 $Q$ 关于 $K$ 的定义域次数具有形如 $N^{\delta}$ 的有效下界，其仅依赖于 $A$、$K$ 以及 $P$ 关于 $K$ 的定义域次数。证明基于 Masser 对挠点次数的估计。我们将此结果与 Manin-Mumford 的一个一致版本结合，证明了一个有效的“非期望相交”型结果：若 $P \in A(\overline{\mathbb{Q}})$ 为本原点，定义于 $K$ 上次数为 $d$ 的域，且 $X$ 为 $A$ 的子簇，则只要 $N$ 大于 $d$ 的某个适当幂次，$X \cap [N]^{-1}P$ 便包含于 $X$ 的弱特殊部分中。作为一个应用，我们研究了一个逆椭圆 Fermat 方程，类似于 Pila 所处理的一个模 Fermat 方程。