深度 2 中的散度与 q-散度

Kashiwara-Vergne 李代数 $\mathfrak{krv}$ 编码了关于 Campbell-Hausdorff 级数性质的 Kashiwara-Vergne 问题的对称性。据猜想 $\mathfrak{krv} \cong \mathbb{K}t \oplus \mathfrak{grt}_1$，其中 $t$ 是次数为 1 的生成元，$\mathfrak{grt}_1$ 是 Grothendieck-Teichm"uller 李代数。在本文中，我们在深度 2 中证明了这一猜想。证明的主要工具是散度上闭链和二面体群 $D_{12}$ 的表示论。我们的计算类似于 Zagier 对深度 2 中双洗牌李代数分级维数的计算。类比于散度上闭链，我们在 $\mathfrak{grt}_1$ 的李子代数上定义了超散度和 $q$-散度上闭链（此处 $q^l=1$），这些子代数由权重可被 $l$ 整除的元素组成。我们表明，在深度 2 中，这些上闭链没有核。这一结果与散度上闭链在 $[\mathfrak{grt}_1, \mathfrak{grt}_1]$ 上为零的事实形成了鲜明对比。