环消除随机游走中消除环的尺寸分布

我们研究了规则分形晶格上环消除随机游走中消除环的尺寸分布。我们证明，对于任意图，生成周长为$l$的环的概率$P(l)$可以通过简单关系$P(l)=P_{st}(l)/l$，用在同一图上向随机生成树添加一条边时形成周长为$l$的环的概率$P_{st}(l)$来表示。在$d$维超立方晶格上，对于大的$l$，$P(l)$按$l^{-\sigma}$变化，其中$\sigma=1+2/z$，$z$是图上环消除随机游走的分形维数。在满足$\tilde{d} < 2$的递归构造分形上，此关系修正为$\sigma=1+2\bar{d}/{(\tilde{d}z)}$，其中$\bar{d}$是豪斯多夫维数，$\tilde{d}$是分形的谱维数。