网络的环擦除划分：单调性及无环图分析
概率论
2023-01-25 v2 组合数学
摘要
我们考虑给定有限图顶点集的随机划分，其可通过在参数为的随机指数时间处停止的环擦除随机游走来采样。相关的随机块倾向于聚集随机游走在时间尺度上访问的节点。该随机划分由图的有根生成森林测度诱导，其推广了经典的均匀生成树测度，并且可作为具有外部墓状态FK渗流的零极限获得。该有根森林测度及相关行列式可观测量的一些一般性质，以及数据分析中的若干应用近期已被探索。我们此处主要关注随着尺度参数变化而涌现的划分（称为环擦除划分）的结构。我们首先给出两个一般结果，阐明了这些有根森林与环擦除划分测度在上的微妙单调性性质。第一个定理通过推导类Russo公式刻画了中的单调事件。我们的第二个一般结果涉及由两顶点不属于划分同一块的概率所定义的两点关联。它指出，在无向图上，这些关联函数关于是递增的。随后我们探索其他类型的结果，旨在理解当随图规模缩放时，简单增长图模型上涌现的渐近簇。该方向的一些初步结果已在最近的[arXiv:1906.03858]中于稠密几何上被研究。此处我们考察极稀疏图。我们对线段上所得划分进行了详细分析，并考察了不带及带植入模块结构的树与其他类树几何。对于后者，我们刻画了这些植入模块的渐近检测。
引用
@article{arxiv.2103.14436,
title = {Loop-erased partitioning of a network: monotonicities & analysis of cycle-free graphs},
author = {Luca Avena and Jannetje Driessen and Twan Koperberg},
journal= {arXiv preprint arXiv:2103.14436},
year = {2023}
}