曲面图上图的生成树与平面图上环擦除随机游走的强度

我们展示了如何计算嵌入在曲面上的图中均匀随机生成树的各种连接拓扑的概率。作为一个应用，我们展示了如何计算${\mathbb Z}^2$中环擦除随机游走的“强度”，即从(0,0)出发到无穷远的游走经过给定顶点或边的概率。例如，它经过(1,0)的概率是5/16；这证实了1994年关于${\mathbb Z}^2$上稳态沙堆密度的猜想。我们对三角晶格、蜂窝晶格和${\mathbb Z} \times {\mathbb R}$进行了类似计算，其概率分别为5/18、13/36和$1/4-1/\pi^2$。