Barnette 图的距离二染色

Barnette 辨识出两类有趣的三正则多面体图，并猜想其中存在哈密顿圈。Goodey 证明了这两类交集上的猜想。我们从距离二染色的视角考察这些图类。图 G 的距离二 r-染色是将 r 种颜色分配给 G 的顶点，使得任意距离至多为二的两顶点颜色不同。注意三正则图至少需要四种颜色。三正则平面图的距离二四色问题已知是 NP-完全的。我们断言该问题对于三连通二部三正则平面图仍是 NP-完全的，我们称之为一类 Barnette 图，因为它们是 Barnette 辨识的第一类图。相反，我们断言该问题对于面大小为 $3, 4, 5,$ 或 $6$ 的三正则平面图是多项式时间的，我们称之为二类 Barnette 图，因其与 Barnette 的第二个猜想相关。我们将所有面大小为 $4$ 或 $6$ 的二类 Barnette 图称为 Goodey 图。我们完整描述了所有可接纳距离二四染色的 Goodey 图，并根据面大小刻画了其余可接纳距离二四染色的二类 Barnette 图。对于四正则平面图，二类 Barnette 图的类比是为面大小 $3$ 或 $4$ 的图。对于此类，距离二四色问题也是多项式时间的；事实上，我们同样可完整描述所有可染色实例——恰有两个这样的图。