距离-2-分散：带有进一步约束的分散问题

分散问题的目标是将一组 $k(\leq n)$ 个移动机器人放置在一个由 $n$ 个节点组成的未知图的节点上，使得在最终配置中，每个节点最多包含一个机器人，起始于机器人在图上的任意初始配置。在这项工作中，我们提出了分散问题的一个变体，其中我们从任意数量的机器人开始，并增加了一个额外的约束，即在最终配置中，没有两个相邻的节点包含机器人。我们将此问题命名为距离-2-分散 (D-2-D)。然而，即使机器人的数量 $k$ 小于 $n$，在维持我们新增约束的情况下，每个机器人也可能无法找到一个不同的节点驻留。具体来说，如果包含机器人的节点已经形成了一个极大独立集，那么其他正在寻找空节点的机器人（如果有的话）将找不到位置。因此，我们允许在没有空位的情况下，多个机器人驻留在某些节点上。如果 $k \geq n$，则可以保证有机器人的节点构成了底层网络的极大独立集。图 $G=(V, E)$ 有 $n$ 个节点和 $m$ 条边，其中节点是匿名的。这是一个端口标记图，即每个节点 $u$ 为其每条关联边分配一个来自范围 $[0,\delta-1]$ 的不同端口号，其中 $\delta$ 是节点 $u$ 的度。机器人具有范围 $[1, L]$ 内的唯一 ID，其中 $L \ge k$。同位的机器人可以相互通信。我们提供了一个算法，该算法从根配置（即最初所有机器人都位于同一位置）开始解决 D-2-D 问题，并在 $2\Delta(8m-3n+3)$ 个同步轮次后终止，每个机器人使用 $O(log \Delta)$ 内存，且无需使用图参数 $m$、$n$ 和 $\Delta$（图的最大度）的任何全局知识。我们还为 D-2-D 问题提供了 $\Omega(m\Delta)$ 的轮次下界。