优化网格上的机器人分散：有容错与无容错

近年来，移动机器人在匿名图节点上的分散问题的引入和研究逐渐受到关注，并已在各种图类别和设置中进行了探索。虽然最优分散解决方案已在{\em 有向}网格上建立[Kshemkalyani et al., WALCOM 2020]，但一个重要的未解决问题是，在{\em 无向}网格上是否也能实现最优分散。本文研究了无向网格上的分散问题，同时考虑了无故障机器人和故障机器人。无向网格带来的挑战在于，单个机器人在节点间移动时缺乏明确的方向感，这与有向网格的直接导航形成对比。我们提出了三种针对我们机器人模型的确定性算法。第一种和第二种算法分别处理有向和无向网格中故障和无故障机器人的分散问题，确保时间和内存的优化。故障机器人随时可能崩溃，导致永久性故障。在这两种设置下，我们都能在 $O(\sqrt{n})$ 轮内实现分散，同时每个机器人仅需 $O(\log n)$ 比特的内存。第三种算法处理无向网格中易发生崩溃故障的故障机器人。在这种情况下，我们的算法在 $O(\sqrt{n} \log n)$ 时间内运行，并使用每机器人 $O(\sqrt{n} \log n)$ 比特的内存。机器人需要知道 $n$ 的值以终止。