任意匿名图上的近最优分散

给定一个由$n$个无记忆节点、$m$条边和度$\Delta$组成的无向、匿名、端口标记图，我们考虑将初始任意放置在图的一个或多个节点上的$k\leq n$个机器人（或令牌）分散到图中恰好$k$个不同节点、每个节点一个的问题。目标是同时最小化实现分散所需的时间以及每个机器人所需的内存。若所有$k$个机器人初始位于单一节点上，深度优先搜索（DFS）遍历可在$O(\min\{m,k\Delta\})$时间内解决该问题，每个机器人需$\Theta(\log(k+\Delta))$比特。然而，若机器人初始位于多个节点，此前已知最优算法在每机器人存储$\Theta(\log(k+\Delta))$比特下，以$O(\min\{m,k\Delta\}\cdot \log \ell)$时间解决该问题，其中$\ell\leq k/2$为初始构型中多重性节点的数量。本文提出一种新颖的多源DFS遍历算法，以$O(\min\{m,k\Delta\})$时间和每机器人$\Theta(\log(k+\Delta))$比特解决该问题，将此前最优算法的时间界改进了$O(\log \ell)$倍，并在渐近上匹配单源DFS遍历界。这是在常数度$\Delta=O(1)$的任意匿名图中首个在时间与内存上均最优的分散算法。此外，该结果在同步与异步设置下均成立。