可直分解理想与交换半环的同余核
环与代数
2019-01-21 v1
摘要
正如 J. S. Golan 以及 W. Kuich 和 A. Salomaa 关于半环的专著所指出的，尽管理想未必像环的情形那样是同余核，它们仍起着重要作用。因此，给定两个交换半环 S1 和 S2，人们可以问它们的直积 S = S1 x S2 的一个理想 I 是否能表示为 I1 x I2 的形式，其中对 j=1,2，Ij 是 Sj 的理想。当然，其逆是初等的，即若对 j=1,2，Ij 是 Sj 的理想，则 I1 x I2 是 S1 x S2 的理想。给定交换半环 S 上的一个同余，其 0-类为 S 的一个理想，但并非每个理想都具有此形式。因此，S 的所有理想构成的格 Id S 与 S 的所有同余核（即同余的 0-类）构成的格 Ker S 未必相等。此外，我们证明将每个同余映到其核的映射未必是从 Con S 到 Ker S 的同态。进而，一个问题自然产生：两个交换半环的直积 S1 x S2 的一个同余核何时可表示为各因子上相应核的直积。本文给出了交换半环的理想与同余核此类直分解的充要条件。我们还给出了交换半环的簇具有可直分解核的充分条件。
引用
@article{arxiv.1901.05991,
title = {Directly decomposable ideals and congruence kernels of commutative semirings},
author = {Ivan Chajda and Günther Eigenthaler and Helmut Länger},
journal= {arXiv preprint arXiv:1901.05991},
year = {2019}
}