唯一分解整环乘法半群中理想的分离子

本文证明，若 $I$ 是交换半群 $C$ 的一个理想，使得 $I$ 的分离子 $SepI$ 非空，则商半群 $S=C/P_I$（$P_I$ 是由 $I$ 定义的 $C$ 上的主同余）满足条件 $(*)$：$S$ 是一个带零的交换幺半群；$S$ 中每个非单位元 $s$ 的零化子 $A(s)$ 包含 $S$ 的一个非零元；对任意 $s, t\in S$，$A(s)=A(t)$ 蕴含 $s=t$。反之，若 $\alpha$ 是交换半群 $C$ 上的一个同余，使得商半群 $S=C/\alpha$ 满足条件 $(*)$，则存在 $C$ 的一个理想 $I$ 使得 $\alpha =P_I$。利用这一结果，对于唯一分解整环 $D$ 的乘法半群 $D_{mult}$，我们证明对每个非零元 $m\in D$ 有 $P_{J(m)}=\tau _m$，其中 $J(m)$ 表示由 $m$ 生成的 $D$ 的理想，$\tau _m$ 是 $D$ 上由 $(a, b)\in \tau _m$ 当且仅当 $gcd(a, m)\sim gcd(b, m)$（$\sim$ 是 $D_{mult}$ 上的相伴同余）定义的关系。我们还证明，若 $a$ 是唯一分解整环 $D$ 的一个非零元，则 $d(a)=|D'/P_{J([a])}|$，其中 $d(a)$ 表示 $a$ 的所有不相伴因子的个数，$D'=D/\sim$，$[a]$ 表示 $D_{mult}$ 中包含 $a$ 的 $\sim$-类。作为另一个应用，我们证明，若 $d$ 是整数 $-1$, $-2$, $-3$, $-7$, $-11$, $-19$, $-43$, $-67$, $-163$ 之一，则对于虚二次域 ${\mathbb Q}[\sqrt d]$ 的所有代数整数环 $R$ 的每个非零理想 $I$，存在 $R$ 的一个非零元 $m$ 使得 $P_I=\tau _m$。