分段线性系统的直接解法

设 $S$ 为实 $n\times n$ 矩阵，$z,\hat c\in \mathbb R^n$，$| z|$ 为 $z$ 的逐分量模。则分段线性方程组 $$z-S| z| = \hat c$$ 称为绝对值方程 (AVE)。已证明其等价于一般的线性互补问题，这意味着该问题通常为 NP 难。我们将证明，对于若干系统类，AVE 本质上保留了常规线性系统的良好可解性质。即，它可通过一种稍作修改的高斯消元法直接求解，我们称之为带符号高斯消元法。对于稠密矩阵 $S$，该算法的运算次数与采用对称选主元的经典高斯消元法相同。对于含 $n$ 个变量的三对角系统，其计算代价大致相当于对 $n$ 个浮点数进行排序。我们将确立对 $S$ 所提限制条件的精确性。