一种求解绝对值方程的不精确 Douglas-Rachford 分裂方法

过去二十年见证了人们对绝对值方程(AVE)日益增加的兴趣:寻找 $x\in\mathbb{R}^n$ 使得 $Ax-|x|-b=0$,其中 $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 且 $b\in \mathbb{R}^n$。本文将注意力放在设计高效算法上。为此,我们将 AVE 重构为一个广义线性互补问题(GLCP),在诸多等价形式中,它在不增加变量维数的意义下是最为经济的一种。为求解 GLCP,我们提出一种可采用相对误差容限的不精确 Douglas-Rachford 分裂方法。因此,在内部迭代过程中,我们可采用 LSQR 方法([C.C. Paige and M.A. Saunders, ACM Trans. Mathe. Softw. (TOMS), 8 (1982), pp. 43--71])为每个子问题求得合格的近似解,这使得每次迭代代价很低。我们证明了算法的收敛性并建立了其全局线性收敛速率。与流行算法如精确广义牛顿法[O.L. Mangasarian, Optim. Lett., 1 (2007), pp. 3--8]、不精确半光滑牛顿法[J.Y.B. Cruz, O.P. Ferreira and L.F. Prudente, Comput. Optim. Appl., 65 (2016), pp. 93--108]和精确类 SOR 法[Y.-F. Ke and C.-F. Ma, Appl. Math. Comput., 311 (2017), pp. 195--202]的比较结果表明所提算法非常有前景。此外,我们的方法还拓展了 AVE 的数值可解范围;即,它不仅能处理现有文献中常用的 $\|A^{-1}\|<1$ 情形,也能处理 $\|A^{-1}\|=1$ 的情形。