求解绝对值标准形式的分段线性方程
数值分析
2017-01-04 v1
摘要
以迭代求解分段光滑（PS）系统为最终目标，我们考虑分段线性（PL）方程的求解。PL 模型可以按照自动或算法微分的方式导出，作为 PS 函数在距给定参考点距离上具有二阶误差的局部近似。所得的 PL 函数相当自然地以我们称之为绝对值标准形式的形式获得，这是 Bokhoven 在其学位论文中提出的状态表示的一种变体。除了可追溯至 Thomas Stern 1956 年硕士论文的电气工程师 PL 建模传统外，我们还考虑了源自优化社区的关于线性互补问题和半光滑方程的最新成果。我们同时分析了绝对值标准形式的原始 PL 问题（OPL）和相应的互补系统（CPL），后者与 Mangasarian 等人研究的绝对值方程（AVE）及相应的线性互补问题（LCP）密切相关。我们证明，CPL 与 KKT 条件及其他简单切换系统一样，若非单射则不可能为开映射。因此，Scholtes 所描述的一些有趣的 PL 结构在从 OPL 到 CPL 的转换中丢失了。对于这两个问题，都可以应用带有广义 Jacobian 的 Newton 变体，这些 Jacobian 可直接从绝对值标准表示中计算得出。或者，CPL 可以通过 Bokhoven 的模方法及相关的不动点迭代来求解。我们汇编了各种方案的特性，并强调了与 Schur 补矩阵性质的联系，特别是 Rump 所分析的其有符号实谱半径。数值实验以及不动点求解器与稳定化广义 Newton 变体的适当组合仍有待实现。
引用
@article{arxiv.1701.00753,
title = {Solving piecewise linear equations in abs-normal form},
author = {Andreas Griewank and Jens Uwe Bernt and Manuel Radons and Tom Streubel},
journal= {arXiv preprint arXiv:1701.00753},
year = {2017}
}