广义 Perron 根与绝对值方程的可解性

设 $A$ 为一个 $n\times n$ 实矩阵。分段线性方程系统 $z-A\vert z\vert =b$ 称为绝对值方程(AVE)。已知其与线性互补问题等价。AVE 的唯一可解性已知可由称为 $A$ 的符号实谱半径的广义 Perron 根来刻画。对于仅可解(可能非唯一)的情形,尚无此类刻画。我们缩小了这一理论上的缺口。即,我们定义了 $A$ 的对齐谱的概念,并在对 $A$ 的一些温和一般性假设下证明,分段线性函数 $F_A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\,, z\mapsto z-A\lvert z\rvert$ 的映射度同余于 $(k+1)\mod 2$,其中 $k$ 为 $A$ 的大于 $1$ 的对齐值的个数。我们还推导了关于 $F_A$ 的度的基于对齐谱的精确但更具技术性的公式。最后,我们给出了线性互补问题(LCP)的类似量与结果。