关于广义 Bethe 树主谱一个猜想的反证

图邻接矩阵的特征值若其相伴特征空间不正交于全 1 向量，则称为主特征值。具有 $k$ 层的广义 Bethe 树是一种根树，其中同一层的顶点具有相同的度。Fran\c{c}a 与 Brondani [On the main spectrum of generalized Bethe trees, Linear Algebra Appl., 628 (2021) 56-71] 近期猜想：任意具有 $k$ 层的广义 Bethe 树，当 $k$ 为偶数时恰有 $k$ 个主特征值。我们通过构造一类偶数 $k\ge 6$ 的反例，证伪了该猜想。