可交换增量过程的Dini导数及其应用

设$X$为样本路径具有无限变差的可交换增量（EI）过程。我们证明，对任意固定的$t$，几乎必然有$$\limsup_{h\to 0 \pm} (X_{t+h}-X_t)/h=\infty \quad\text{and}\quad \liminf_{h\to 0\pm} (X_{t+h}-X_t)/h=-\infty.$$这推广了Rogozin（1968）关于Lévy过程的著名结果，并补全了已知有限变差EI过程的图景。应用众多。例如，我们推得无限变差EI过程会立即访问两个半直线$(-\infty, 0)$与$(0,\infty)$（称为向上与向下正则性）。我们还将Millar（1977）关于Lévy过程的零一律推广：在无限变差EI情形下，当$X$达到其最小值时证明其连续性；对所有EI过程的类似结果将最小值处的右连续与左连续同向上与向下正则性相联系。我们还考虑了Durrett、Iglehart与Miller（1977）关于条件布朗桥弱收敛到归一化布朗游程的结果，该结果由Uribe Bravo（2014）与Chaumont和Uribe Bravo（2015）推广到Lévy过程与EI过程的子类。我们在此对全部无限变差EI过程证明之。此外，我们得到非分段线性EI过程的凸最小元描述，Lévy过程情形由Pitman与Uribe Bravo（2012）给出。研究Dini导数的主要工具是EI过程的一个测度变换，它推广了Lévy过程的Esscher变换。