有限周长集族的膨胀体积
概率论
2026-01-14 v1
摘要
本文分析了当 趋于零时，膨胀体 体积的一阶行为（即右导数）。此处 和 是 维欧几里得空间的子集， 具有有限周长且 为有限集。如果 仅由两点组成，例如 和 ，则该导数在符号上与 的协方差图在方向 上的方向导数一致。根据关于协方差图的已知结果，该导数因此可以表示为 的表面积测度的余弦变换。我们将此结果推广到有限集 ，并利用它确定具有有限结构元的平稳随机集的接触分布函数在零处的导数。证明基于用有界变差的光滑函数逼近 的特征函数，并证明相应的公式适用于这些函数。
引用
@article{arxiv.1708.09191,
title = {Dilation volumes of sets of finite perimeter},
author = {Markus Kiderlen and Jan Rataj},
journal= {arXiv preprint arXiv:1708.09191},
year = {2026}
}