四阶扩散方程有限体积离散格式的长时间行为

我们考虑在$d$维立方体上（任意$d \geq 1$）的强非线性四阶扩散方程的一种非标准有限体积离散。该格式保持了方程的两个重要结构性质：其一是作为质量传输度量下梯度流的解释，其二是与线性Fokker-Planck方程的密切关系。得益于这些结构性质，该格式具有两个离散Lyapunov泛函。这些泛函分别逼近熵和Fisher信息，其耗散率在离散到连续的极限下收敛到最优值。利用该耗散，我们导出了离散解长时间渐近的估计。最后，我们给出了数值实验的结果，表明我们的离散格式即使在使用相当粗糙的空间分辨率时，也能捕捉到复杂原始动力学的重要特征。