关于平行集的体积与表面积 II. 表面测度与体积的非（可微）性

我们证明，对于紧集 $A\subset {\mathbb R}^d$ 的体积函数（将 $r$ 映射到 $A$ 的 $r$-平行集的体积）的可微点 $r_0>0$，当 $r\to r_0$ 时，$A$ 的 $r$-平行集的表面积测度弱收敛于 $r_0$-平行集的表面积测度。我们进一步研究哪些平行半径集可作为某紧集体积函数的不可微点集出现的问题。我们对维数 $d=1$ 和 $2$ 给出了完整刻画。