平行集的反向欧氏与高斯等周不等式及其应用

可测集 $A \subseteq \mathbb R^d$ 的 $r$-平行集是所有到 $A$ 的距离至多为 $r$ 的点构成的集合。在本文中，我们证明 $\mathbb R^d$ 中体积为至多 $V$ 的 $r$-平行集的表面积以上界 $e^{\Theta(d)}V/r$ 为界，而其高斯表面积以上界 $\max(e^{\Theta(d)}, e^{\Theta(d)}/r)$ 为界。我们还推导了 $r$-平行集的 Brunn-Minkowski 不等式的反向形式，并附带得到高斯平滑随机变量的反向熵幂不等式。我们将结果应用于理论机器学习中的两个问题：(1) 在高斯分布下界定学习 $r$-平行集的计算复杂度；以及 (2) 界定估计鲁棒风险的样本复杂度，鲁棒风险是对抗机器学习文献中一种风险的 notion，类似于假设检验中的 Bayes 风险。