随机与普适度量空间

我们引入所有 Polish（=可分完备度量）空间集合的一个模型：距离矩阵锥 $\cal R$，并考虑与此对象相关的几何与概率问题。我们定义了普适距离矩阵的概念，并证明此类矩阵的集合在锥 $\cal R$ 的弱拓扑中是处处稠密的 $G_{\delta}$ 集。距离矩阵的普适性是所谓普适 Urysohn 空间（他于1924年在其最后一篇论文中定义）的可数处处稠密集合的距离矩阵的充要条件。这意味着 Urysohn 空间在所有 Polish 空间集合中是典型的。然后我们考虑带度量的测度空间（度量三元组）并定义一个完全不变量：其矩阵分布。我们给出矩阵分布集合的内在刻画，并利用遍历定理给出 Gromov 的“重构定理”的新证明。我们给出了锥 $\cal R$ 上一大类测度的自然构造，并对这些测度证明{\,\it 以概率1随机 Polish 空间仍是 Urysohn 空间}。这些问题与多变量可测函数的度量分类以及无限对称群的作用分类之间有密切关联 [V1,V2]。