锥形$3$-均匀测度：一族新例子与刻画

均匀测度自作为切向对象自然出现以来，便在几何测度论中发挥了根本作用。例如，它们在 Preiss 关于 Radon 测度可求 rectifiability 的开创性工作中至关重要。然而，人们对一般均匀测度的结构知之甚少。事实上，自从 Kowalski 和 Preiss 分类了$\mathbb{R}^{n+1}$中的$n$-均匀测度以来，除了支撑在光锥上的那个之外，是否存在任何非平坦均匀测度的问题已经悬而未决了 30 年。在本文中，我们回答了这个问题，并在任意余维数中构造了一族无限的 3-均匀测度。我们定义了点的距离对称性概念，并证明了中心具有距离对称性的任意$2$-球集合都会产生一个 3-均匀测度。随后，我们开发了一种组合方法来系统地生成距离对称点。我们还通过证明$\mathbb{R}^{5}$中的所有锥形 3-均匀测度均源于距离对称球，对其进行了分类。