stochastic Box-Ball system 与 PushTASEP 的扩散尺度极限

我们介绍了随机盒子-球系统 (Stochastic Box-Ball System, SBBS)，这是一种推广经典 Takahashi-Satsuma 盒子-球系统的概率细胞自动机。在 SBBS 中，粒子由具有固定容量的载体输送，该载体以固定概率 $\epsilon$ 失败地无法捕获任何给定粒子。该模型在两个已知可积系统之间进行插值：当 $\epsilon\rightarrow 0$ 时趋近于盒子-球系统 (Box-Ball System)，当 $\epsilon\rightarrow 1$ 时趋近于 PushTASEP。我们表明，SBBS 的长期行为由孤立粒子和偶尔出现的短脉冲主导，这些短脉冲可以形成更长的脉冲，但更可能分解。更具体地，我们首先表明，在任意给定的 $n$ 步中，除去 $1/\sqrt{n}$ 的比例时间外，所有粒子都是孤立的，脉冲持续形成。随后我们表明，在扩散尺度下，无论载体容量为何，SBBS 和 PushTASEP 都收敛于带有显式协方差和反射矩阵的半鞅反射布朗运动 (semimartingale reflecting Brownian motions, SRBMs)，其反射矩阵与这些系统在微尺度上的关系相一致。SBBS 的反射矩阵由 2-脉冲的行为决定，表现出在扩散尺度上可见的“脉冲偏置”。我们的证明依赖于我们在本工作中开发的新的、扩展的 SRBM 不变性原理。该原理能够处理具有复杂边界行为的过程，这类过程可表示为“过度确定”的 Skorokhod 分解，这对于分析 SBBS 中复杂的脉冲相互作用至关重要。我们认为，这一工具可能独具兴趣。