二维弱自排斥布朗聚合物的不变性原理

我们研究了临界维数 $d=2$ 下自排斥布朗聚合物 (SRBP) 的大尺度行为。SRBP 是一种自排斥运动模型，形式上由标准布朗运动驱动的随机微分方程的解给出，其漂移项由其自身局部时间的负梯度给出。与其离散对应物，即 [D.J. Amit, G. Parisi, & L. Peliti, Asymptotic behaviour of the "true" self-avoiding walk, Phys. Rev. B, 1983] 中的“真实”自回避行走 (TSAW) 一样，据推测它是对数超扩散的，即其均方位移对于大 $t$ 和某个目前未知的 $\beta\in(0,1)$ 以 $t(\log t)^\beta$ 的方式增长。本文的主要结果是在弱耦合标度下 SRBP 的不变性原理，这对应于以扩散方式标度 SRBP，同时以依赖于标度的方式调低自相互作用强度。极限布朗运动的扩散系数是显式的，其表达式提供了令人信服的证据，表明上述 $\beta$ 应为 $1/2$。此外，我们推导了所谓“粒子所见环境”的标度极限，该环境形式上求解了一个非线性的奇异输运型随机偏微分方程，并证明其由具有增强扩散系数的随机线性输运方程的解给出。