区间映射 f 的绝对连续不变测度关于 f 的微分

设映射 $f:[-1,1]\to[-1,1]$ 具有 a.c.i.m. $\rho$（关于 Lebesgue 测度的绝对连续 $f$-不变测度）。令 $\delta\rho$ 为对应于 $f$ 的扰动 $X=\delta f\circ f^{-1}$ 的 $\rho$ 的变化。形式上，对可微函数 $A$ 有 $$\delta\rho(A)=\sum_{n=0}^\infty\int\rho(dx) X(x){d\over dx}A(f^nx)$$ 但该式一般并不收敛。对于实解析且在覆盖 $(-1,1)$ $m$ 次意义下为 Markov 的 $f$，并假设一 {\it 解析扩张} 条件，我们证明 $$\lambda\mapsto\Psi(\lambda)=\sum_{n=0}^\infty\lambda^n \int\rho(dx) X(x){d\over dx}A(f^nx)$$ 在 ${\bf C}$ 中是亚纯的，且在 $\lambda=1$ 处无极点。因此我们可形式地写 $\delta\rho(A)=\Psi(1)$。